monoidal 圈
monoidal category。tensor 圈 (tensor category)
圈$ \bf Cに於いて、組$ ({\bf C},\otimes,1,\alpha,\lambda,\rho)は以下を滿たせば monoidal 圈と呼ぶ 以下で構成される
tensor 積と呼ばれる雙函手$ \otimes:{\bf C}\times{\bf C}\to{\bf C} 對象$ \otimes:|{\bf C}|\times|{\bf C}|\to|{\bf C}|
射$ \otimes:{\rm Hom}_{\bf C}\times{\rm Hom}_{\bf C}\to{\rm Hom}_{\bf C},f_{:A\to B}\otimes g_{:C\to D}\mapsto h_{:(A\otimes C)\to(B\otimes D)}
單位 (圈)と呼ばれる對象$ 1_{\in|{\bf C}|}。但し同型の違ひを除く (up to iso) 結合律子 (associator) と呼ばれる自然同型$ \alpha_{x,y,z}:(x\otimes y)\otimes z\cong x\otimes(y\otimes z) 左單位律子 (left unitor) と呼ばれる自然同型$ \lambda_x:1\otimes x\cong x 右單位律子 (right unitor)と呼ばれる自然同型$ \rho_x:x\otimes1\cong x 五角形の可換圖式 (pentagon identity。pentagon equation) $ ((w\otimes x)\otimes y)\otimes z\xrightarrow{\alpha_{w,x,y}\otimes{\rm id}_z}(w\otimes(x\otimes y))\otimes z\xrightarrow{\alpha_{w,x\otimes y,z}}w\otimes((x\otimes y)\otimes z)\xrightarrow{{\rm id}_w\otimes\alpha_{x,y,z}}w\otimes(x\otimes(y\otimes z))\xleftarrow{\alpha_{w,x,y\otimes z}}(w\otimes x)\otimes(y\otimes z)\xleftarrow{\alpha_{w\otimes x,y,z}}((w\otimes x)\otimes y)\otimes z
$ (\alpha_{w,x,y}\otimes{\rm id}_z);\alpha_{w,x\otimes y,z};({\rm id}_w\otimes\alpha_{x,y,z})=\alpha_{w\otimes x,y,z};\alpha_{w,x,y\otimes z}
三角形の可換圖式 (triangle identity) $ (x\otimes1)\otimes y\xrightarrow{\alpha_{x,1,y}}x\otimes(1\otimes y)\xrightarrow{{\rm id}_x\otimes\lambda_y}x\otimes y\xleftarrow{\rho_x\otimes{\rm id}_y}(x\otimes1)\otimes y
$ \alpha_{x,1,y};({\rm id}_x\otimes\lambda_y)=\rho_x\otimes{\rm id}_y
恆等 1-胞$ {\rm id}_*を單位とする
對象を 1-胞とし、射を 2-胞とする。此れ等は圈を成す 射の合成を 2-胞の垂直合成とする
左右の髯は$ f:a\to bに對して$ c\lhd f:a\otimes c\to b\otimes c,$ f\rhd c:c\otimes a\to c\otimes b等として自然に表はされる
momoidal 函手 (monoidal functor)
恆等函手は monoidal 函手
monoidal 函手の水平合成は復た monoidal 函手
monoidal 圈の結合律子$ \alpha、單位律子$ \lambda,$ \rhoが恆等變換である$ (x\otimes y)\otimes z=x\otimes(y\otimes z),$ 1\otimes x=x\otimes 1=xものを嚴密 monoidal 圈と呼ぶ 結合律子$ \alpha_{x,y,z}:(x\times y)\times z\simeq x\times(y\times z)
ちゃんと自然同型を作って?
單位律子$ \lambda_x:1\times x\simeq x,$ \rho_x:x\times 1\simeq x
$ 1\times x,$ x\times 1は存在するので、$ xと同型 ちゃんと自然同型を作って?
?
?
結合律子$ \alpha_{x,y,z}:(x+y)+z\simeq x+(y+z)
?
單位律子$ \lambda_x:\varnothing+x\simeq x,$ \rho_x:x+\varnothing\simeq x
?
?
?
組み紐 monoidal 圈
再歸。loop
對稱 monoidal 閉圈
ribbon 圈