monoidal 圈
monoidal category。tensor 圈 (tensor category)
組$ ({\bf C},\otimes,1,\alpha,\lambda,\rho)を monoidal 圈と呼ぶ。記號の濫用で單に$ \bf Cとも書く 以下で構成される
tensor 積 (tensor product) と呼ばれる雙函手$ \otimes:{\bf C}\times{\bf C}\to{\bf C} 對象$ \otimes:|{\bf C}|\times|{\bf C}|\to|{\bf C}|,$ x\otimes y\mapsto z.
射$ \otimes:{\rm Hom}_{\bf C}\times{\rm Hom}_{\bf C}\to{\rm Hom}_{\bf C},$ f\otimes g\mapsto h.
$ {\rm dom}(h)={\rm dom}(f)\otimes{\rm dom}(g).
$ {\rm cod}(h)={\rm cod}(f)\otimes{\rm cod}(g).
單位 (unit) と呼ばれる對象$ 1。但し同型の違ひを除く (up to iso) 結合律子 (associator) と呼ばれる自然同型$ \alpha_{x,y,z}:(x\otimes y)\otimes z\simeq x\otimes(y\otimes z) 左單位律子 (left unitor) と呼ばれる自然同型$ \lambda_x:1\otimes x\simeq x 右單位律子 (right unitor)と呼ばれる自然同型$ \rho_x:x\otimes1\simeq x 以下の可換圖式 (commutative diagram) を滿たす 五角形の可換圖式 (pentagon identity。pentagon equation) $ ((w\otimes x)\otimes y)\otimes z\xrightarrow{\alpha_{w,x,y}\otimes{\rm id}_z}(w\otimes(x\otimes y))\otimes z\xrightarrow{\alpha_{w,x\otimes y,z}}w\otimes((x\otimes y)\otimes z)\xrightarrow{{\rm id}_w\otimes\alpha_{x,y,z}}w\otimes(x\otimes(y\otimes z))\xleftarrow{\alpha_{w,x,y\otimes z}}(w\otimes x)\otimes(y\otimes z)\xleftarrow{\alpha_{w\otimes x,y,z}}((w\otimes x)\otimes y)\otimes z.
$ (\alpha_{w,x,y}\otimes{\rm id}_z);\alpha_{w,x\otimes y,z};({\rm id}_w\otimes\alpha_{x,y,z})=\alpha_{w\otimes x,y,z};\alpha_{w,x,y\otimes z}.
三角形の可換圖式 (triangle identity)。左右の單位律に當たる $ (x\otimes1)\otimes y\xrightarrow{\alpha_{x,1,y}}x\otimes(1\otimes y)\xrightarrow{{\rm id}_x\otimes\lambda_y}x\otimes y\xleftarrow{\rho_x\otimes{\rm id}_y}(x\otimes1)\otimes y.
$ \alpha_{x,1,y};({\rm id}_x\otimes\lambda_y)=\rho_x\otimes{\rm id}_y.
monoidal 圈は、ただ一つの對象$ *のみを持つ雙圈 (bicategory; weak 2-category) $ \bf Bの射對象圈$ {\bf B}(*,*)と見做せる。これを monoidal 圈の定義とも出來る (水平な圈化) 0-胞が一つ$ *のみである雙圈$ \bf Bの 1-胞 と 2-胞 に依る圈$ {\bf B}(*,*)は monoidal 圈である 恆等 1-胞$ {\rm id}_*を單位とする
monoidal 圈を 0-胞が一つ$ *のみである雙圈$ \bf Bの 1-胞 と 2-胞 に依る圈$ {\bf B}(*,*)と見做せる 對象を 1-胞とし、射を 2-胞とする。此れ等は圈を成す 射の合成を 2-胞の垂直合成とする
單位を恆等 1-胞$ {\rm id}_*とする
左右の髯は$ f:a\to bに對して$ c\lhd f:a\otimes c\to b\otimes c,$ f\rhd c:c\otimes a\to c\otimes b等として自然に表はされる
恆等函手は monoidal 函手
monoidal 函手の水平合成は復た monoidal 函手
終對象$ Tと積 (圈)の有る$ \forall_{|{\bf C}|}x,y\exist_{|{\bf C}|}x\times y圈$ \bf Cは monoidal 圈$ ({\bf C},\times,T)であるか? 結合律子$ \alpha_{x,y,z}:(x\times y)\times z\simeq x\times(y\times z)
ちゃんと自然同型を作って?
單位律子$ \lambda_x:T\times x\simeq x,$ \rho_x:x\times T\simeq x
$ T\times x,$ x\times Tは存在するので、$ xと同型 ちゃんと自然同型を作って?
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始對象$ Iと餘積の有る$ \forall_{|{\bf C}|}x,y\exist_{|{\bf C}|}x+y圈$ \bf Cは monoidal 圈$ ({\bf C},+,I)であるか? 結合律子$ \alpha_{x,y,z}:(x+y)+z\simeq x+(y+z)
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單位律子$ \lambda_x:I+x\simeq x,$ \rho_x:x+I\simeq x
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組み紐 monoidal 圈
對稱 monoidal 圈
compact 閉圈
ribbon 圈